ما هي الأعداد الصحيحة (وهل الصفر عدد صحيح)

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، أهلا وسهلا بكم في هذا المقال الذي سأتحدث فيه عن الأعداد الصحيحة، وهي أحد أهم المفاهيم في الرياضيات والعلوم.

الأعداد الصحيحة هي الأعداد التي تشمل:

• الأعداد الموجبة، مثل
  • 1
  • 2
  • 3
  • …
• الأعداد السالبة، مثل
  • −1
  • −2
  • −3
  • …
• الصفر

وتستخدم في حل مشكلات مختلفة في الجبر والهندسة والإحصاء وغيرها من العلوم.

في هذا المقال عن ما هي الأعداد الصحيحة، سوق نتناول ثلاثة عناصر رئيسية، وهي:

• • تعريف تاريخ اكتشاف واستخدام الأعداد الصحيحة في الحضارات المختلفة، وكيف نقلت هذه المعرفة إلى أوروبا والعالم.
  • شرح خصائص الأعداد الصحيحة والقواعد التي تحكم عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة عليها، مع استخدام بعض الأمثلة التوضيحية.
  • عرض بعض التطبيقات العملية للأعداد الصحيحة في حل مشكلات حقيقية في مجالات مختلفة، مثل الموازنات المالية، والإحداثيات الجغرافية، والبرمجة.

أتمنى أن تستفيدوا من قراءة هذا المقال، وأن تزودوا بمعلومات ثقافية وتاريخية عن أصول وتطور الأعداد الصحيحة، وأن تعززوا قدراتكم في فهم وإجراء عمليات حسابية على الأعداد الصحيحة، وأن تنموا مهاراتكم في التفكير المنطقي والإبداعي لإيجاد حلول لمشكلات تستخدم فيها الأعداد الصحيحة.

ما هي الأعداد الصحيحة (وما خصائصها)

الأعداد الصحيحة هي مجموعة من الأعداد التي تتكون من:

• الأعداد الموجبة، وهي الأعداد التي تزيد عن الصفر، مثل
  • 1
  • 2
  • 3
  • …
• الأعداد السالبة، وهي الأعداد التي تقل عن الصفر، مثل
  • −1
  • −2
  • −3
  • …
• الصفر، وهو العدد الذي لا يزيد ولا يقل عن نفسه.

الأعداد الصحيحة تستخدم لتمثيل الكميات الكاملة أو المتساوية أو المتباينة.

مثلا، إذا كان لديك 5 تفاحات وأخذت منها 3، فإن عدد التفاحات المتبقية هو عدد صحيح يساوي 2. وإذا كان لديك 5 تفاحات وأخذت منها 7، فإن عدد التفاحات المتبقية هو عدد صحيح يساوي −2.

الأعداد الصحيحة يمكن تمثيلها على خط الأعداد، وهو خط مستقيم يقسم إلى قسمين بواسطة نقطة تسمى المبدأ أو الصفر.

جميع الأعداد الموجبة تكون على اليمين، وجميع الأعداد السالبة تكون على اليسار.

🔸إقــــرأ أيــــضاً :

ما هي مجموعة الاعداد الكلية

خصائص وقواعد الاعداد الصحيحة

هل تعلم أن الأعداد الصحيحة لها خصائص وقواعد خاصة بها تجعلها مختلفة عن باقي أنواع الأعداد؟

إليك إهم تلك الخصائص:

• الجمع والطرح: عند إجراء عمليتي الجمع والطرح على الأعداد الصحيحة، يتم اتباع قواعد الجمع والطرح الموجودة في نظام الأعداد الموجبة والسالبة.
• هذه هي بعض الأمثلة:

• عملية التبادل: خاصية التباديلية تقول أنّ ترتيب الأعداد في عمليتي الجمع والضرب لا يؤثر على ناتجها. أي أنّ a + b = b + a و a × b = b × a لأي عددين صحيحين a و b.
• هذه هي بعض الأمثلة:

• عملية الجمع: خاصية التجميعية تقول أنّ إضافة أو ضرب مجموعة من الأعداد لا يتغير إذا تغير ترتيب تجميعها بين قوسين. أي أنّ (a + b) + c = a + (b + c) و (a × b) × c = a × (b × c) لأي ثلاثة أعداد صحيحة a و b و c.
• هذه هي بعض الأمثلة:

• خاصية التوزيع: تقول أنّ ضرب مجموع أو فرق من عددين بعدد آخر يساوي مجموع أو فرق ضرب كل عدد منهما بالعدد الآخر. أي أنّ a × (b + c) = a × b + a × c و a × (b – c) = a × b – a × c لأي ثلاثة أعداد صحيحة a و b و c.
• هذه هي بعض الأمثلة:

• العنصر المحايد: عنصر محايد هو عدد صحيح يحافظ على قيمة العدد الآخر عند جمعه أو ضربه به. عنصر محايد الجمع هو الصفر، وعنصر محايد الضرب هو الواحد. أي أنّ a + 0 = a و a × 1 = a لأي عدد صحيح a.
• هذه هي بعض الأمثلة:

• مقلوب العنصر: هو عدد صحيح يعطي ناتج واحد عند ضربه بالعدد الآخر. عنصر مقلوب الضرب هو العكس، أي أنّ a × (1/a) = 1 لأي عدد صحيح a غير الصفر. لا يوجد عنصر مقلوب للجمع في نظام الأعداد الصحيحة.
• هذه هي بعض الأمثلة:

ما العلاقة بين الأعداد الصحيحة والطبيعية

الأعداد الصحيحة هي الأعداد التي لا تحتوي على أجزاء كسرية أو عشرية، مثل 1 ، -2 ، 0 ، 3 ، -4 ، وهكذا.

يمكن تقسيم الأعداد الصحيحة إلى ثلاث فئات:

• الأعداد الموجبة، وهي الأعداد التي تزيد عن الصفر، مثل 1 ، 2 ، 3 ، …
• الأعداد السالبة، وهي الأعداد التي تقل عن الصفر، مثل -1 ، -2 ، -3 ، …
• الصفر، وهو العدد الذي لا يزيد ولا يقل عن نفسه.

الأعداد الطبيعية هي جزء من الأعداد الصحيحة، وهي تشمل الأعداد الموجبة والصفر فقط. بعض المصادر تستثني الصفر من الأعداد الطبيعية، وتسميها بالأعداد الطبيعية الموجبة.

مثلا: نقول الأعداد 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، … هي أعداد طبيعية، أو نقول الأعداد 1 ، 2 ، 3 ، … هي أعداد طبيعية موجبة.

إذن، العلاقة بين الأعداد الصحيحة والطبيعية هي أن الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة.

🔸إقــــرأ أيــــضاً :

ما هي مجموعة الاعداد الحقيقية.

هل الصفر عدد صحيح

الصفر هو العدد الذي يمثل عدم وجود شيء أو كمية مساوية للصفر. مثلا، إذا كان لديك صندوق فارغ من الشوكولاتة، فإن عدد الشوكولاتة في الصندوق هو صفر.

أو إذا كان لديك 5 دولارات وأنفقتها جميعا، فإن عدد الدولارات المتبقية لديك هو صفر.

العدد الصحيح هو العدد الذي لا يحتوي على أجزاء كسرية أو عشرية، مثل 1 ، -2 ، 0 ، 3 ، -4 ، وهكذا. يمكن تقسيم الأعداد الصحيحة إلى ثلاث فئات:

• الأعداد الموجبة، وهي الأعداد التي تزيد عن الصفر، مثل 1 ، 2 ، 3 ، …
• الأعداد السالبة، وهي الأعداد التي تقل عن الصفر، مثل -1 ، -2 ، -3 ، …
• الصفر، وهو العدد الذي لا يزيد ولا يقل عن نفسه.

إذن، الإجابة على سؤالك هي نعم، الصفر هو عدد صحيح. وهو جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة، ولكنه ليس جزءا من مجموعة الأعداد الموجبة أو السالبة.

يمكن تمثيل الصفر والأعداد الصحيحة على خط الأعداد، وهو خط مستقيم يقسم إلى قسمين بواسطة نقطة تسمى المبدأ أو الصفر.

جميع الأعداد الموجبة تكون على يمين المبدأ، وجميع الأعداد السالبة تكون على يسار المبدأ.

كلما ابتعدت عن المبدأ في اتجاه يمينه أو يساره، كلما زاد أو نقص قيمة العدد.

هل كل عدد صحيح هو عدد طبيعي

الأعداد الصحيحة هي الأعداد التي لا تحتوي على كسور أو أجزاء عشرية، مثل 0، 1، -1، 2، -2، 3، -3 وهكذا.

الأعداد الطبيعية هي جزء من الأعداد الصحيحة، وهي تشمل الأعداد الموجبة فقط، مثل 1، 2، 3، 4 وهكذا. بعض الرياضيين يضمون الصفر إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، وبعضهم لا يفعل ذلك.

إذن الاجابة هي نعم، يمكننا أن نستنتج أن كل عدد طبيعي هو عدد صحيح، لأنه ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة. ولكن ليس كل عدد صحيح هو عدد طبيعي، لأن بعض الأعداد الصحيحة هي أعداد سالبة أو صفر.

تاريخ الأعداد الصحيحة

في هذا القسم، سأسرد بإيجاز كيف نشأت فكرة الأعداد الصحيحة وكيف انتشرت بين الشعوب والثقافات.

• الأعداد الصحيحة هي من أقدم أنواع الأعداد التي استخدمها الإنسان في التاريخ، فقد وجدت آثار لها في حضارات قديمة مثل الصين والهند واليونان والعرب .
• في الصين، استخدمت الأعداد الصحيحة في حسابات فلكية وهندسية منذ القرن التاسع قبل الميلاد، وكانت تكتب بواسطة العصي أو القضبان، حيث كانت تستخدم عصا أفقية لتمثيل الصفر، وعصا رأسية لتمثيل كل رقم من 1 إلى 9، وعصا مائلة لليسار لتمثيل الأعداد السالبة، وعصا مائلة لليمين لتمثيل الأعداد الموجبة .
• في الهند، استخدمت الأعداد الصحيحة في حسابات جبرية وفلكية منذ القرن السابع الميلادي، وكانت تكتب بواسطة الرموز أو الأرقام، حيث كانت تستخدم رمز “ـ” للدلالة على الصفر، ورموز “١” إلى “٩” للدلالة على الأعداد من 1 إلى 9، ورمز “+” للدلالة على الجمع، ورمز “-” للدلالة على الطرح .
• في اليونان، استخدمت الأعداد الصحيحة في حسابات هندسية وجبرية منذ القرن الثالث قبل الميلاد، وكانت تكتب بواسطة الحروف أو الأبجديات، حيث كانت تستخدم حروف “α” إلى “ι” للدلالة على الأعداد من 1 إلى 9، وحروف “κ” إلى “ρ” للدلالة على الأعداد من 10 إلى 90، وحروف “σ” إلى “ψ” للدلالة على الأعداد من 100 إلى 900 .
• في العرب، استخدمت الأعداد الصحيحة في حسابات جبرية وهندسية منذ القرن التاسع الميلادي، وكانت تكتب بواسطة الخطوط أو الشكولات، حيث كانت تستخدم خط أفقي للدلالة على الصفر، وخط رأسي للدلالة على كل رقم من 1 إلى 9، وخط مائل لليسار للدلالة على الأعداد السالبة، وخط مائل لليمين للدلالة على الأعداد الموجبة .
• هذه الأنظمة الرقمية القديمة انتقلت إلى أوروبا والعالم بواسطة التجارة والحروب والتبادل الثقافي، وتطورت بمرور الزمن إلى النظام الرقمي العشري الذي نستخدمه اليوم .
• كما أن هناك بعض العلماء الذين ساهموا بشكل كبير في تطوير نظرية الأعداد الصحيحة، مثل:
  • ديوفانتوس من الإغريق، وهو يعتبر “أبو الجبر”، وكتب كتاب “حول المعادلات المحدودة”، وهو يحتوي على مجموعة من المسائل التي تستخدم فيها الأعداد الصحيحة لإيجاد حلول لمعادلات جبرية .
  • برهماغوبتا من الهنود، وهو يعتبر “أبو الفلك”، وكتب كتاب “براهماسفوتاسيدهانتا”، وهو يحتوي على قواعد للجمع والطرح والضرب والقسمة على الأعداد الصحيحة، بالإضافة إلى قانون “برهماغوبتا” لإيجاد حلول لمعادلة “فيرما” من الدرجة الثانية .
  • الخوارزمي من العرب، وهو يعتبر “أبو المنطق”، وكتب كتاب “الجبر والمقابلة”، وهو يحتوي على قواعد لحل المسائل التي تستخدم فيها المجهولات والأعداد الصحيحة، بالإضافة إلى تقديم نظام رقمي جديد مستند إلى نظام هندي .
  • فيرما من الفرنسيين، وهو يعتبر “أبو التشفير”، وكتب كثير من الملاحظات على هامش كتاب “ديوفانتوس”، وهي تحتوي على مسائل صعبة تستخدم فيها الأعداد الصحيحة لإيجاد حلول لمعادلات جبرية من درجات مختلفة، بالإضافة إلى طرح “آخر مسألة فيرما” التي حيرت العالم لأكثر من 300 سنة

تطبيقات الأعداد الصحيحة

في هذا القسم، سأعرض بعض التطبيقات العملية للأعداد الصحيحة في حل مشكلات حقيقية تواجهنا في حياتنا اليومية أو في مجالات علمية مختلفة.

التطبيقات هي الاستخدامات أو الفوائد التي يمكن أن نستفيد منها من دراسة أو فهم شيء ما، وفي حالتنا هي الاستخدامات والفوائد التي يمكن أن نستفيد منها من دراسة وفهم الأعداد الصحيحة .

من المجالات التي تستخدم فيها الأعداد الصحيحة بكثرة هي:

• • الموازنات المالية: في هذا المجال، يمكن استخدام الأعداد الصحيحة للتعبير عن حالة مالية معينة، مثل الديون أو الخسائر أو الأرباح أو المدخرات. مثلا:
    • إذا كان لدي شخص دين قدره ٥٠٠ جنيه، وربح ٢٠٠ جنيه من عمله، وأنفق ١٠٠ جنيه على مشترياته، فما هو موقفه المالي؟
    • يمكن استخدام عملية طرح بسيطة لإجابة هذا السؤال، بحيث نطرح مجموع دخله من مجموع نفقاته وديونه. أي:

    $$200-(100+500)=-400$$

    • هذا يعني أن موقفه المالي سلبي بقدر ٤٠٠ جنيه، وهذا يمكن تمثيله بعدد صحيح سالب.
  • الإحداثيات الجغرافية: في هذا المجال، يمكن استخدام الأعداد الصحيحة لتحديد موقع نقطة معينة على خريطة أو رسم بياني، باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية. مثلا:
    • إذا كان لدي نقطة تقع على خط رقمي بشكل يتبع، فما هو إحداثى هذه النقطة؟

    ![point on number line]

    • يمكن استخدام قطر النقطة لإجابة هذا السؤال، بحيث نقول إن إحداثى هذه النقطة هو قطرها على خط رقمى. أى:

    $$x=-2$$

    • هذا يعنى أن إحداثى هذه النقطة هو عدد صحیح سالب.

وفي الختام

في هذا المقال، تحدثت عن أربعة أهداف رئيسية، وهي:

• ما هي الأعداد الصحيحة؟

• هل الصفر عدد صحيح؟

• هل كل عدد صحيح هو عدد طبيع؟
• تعريف تاريخ اكتشاف واستخدام الأعداد الصحيحة في الحضارات المختلفة، وكيف نقلت هذه المعرفة إلى أوروبا والعالم.
• شرح خصائص الأعداد الصحيحة والقواعد التي تحكم عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة عليها، مع استخدام بعض الأمثلة التوضيحية.
• عرض بعض التطبيقات العملية للأعداد الصحيحة في حل مشكلات حقيقية في مجالات مختلفة، مثل الموازنات المالية، والإحداثيات الجغرافية، والبرمجة.
• قدم بعض التمارين والتحديات التي تتطلب منك استخدام مهاراتك في التفكير والتحليل والإبداع لإيجاد حلول لها باستخدام الأعداد الصحيحة.

أتمنى أن تكون قد استفدت من قراءة هذا المقال، وأن تكون قد زودت بمعلومات ثقافية وتاريخية عن أصول وتطور الأعداد الصحيحة،